Lois de composition du mouvement
Loi de composition des vitesse
Démonstration de la vitesse "absolue" ou référencé au référentiel fixe
:
1 Soit 2 référentiels \(\mathcal{R_1}(O,x,y,z)\) et \(\mathcal{R_2}(O',x',y',z')\)
2 $$\vec V_1=\left.\frac{d\vec{OM} }{dt}\right]_{R_1}=\left.\frac{d\vec{OO'}}{dt}\right]_{R_1}+\left.\frac{d\vec{O'M} }{dt}\right]_{R_1}$$
$$=\left.\frac{d\vec{OO'} }{dt}\right]_{R_1}+\left.\frac{d\vec{O'M} }{dt}\right]_{R_2}+\vec\omega\wedge\vec{O'M}$$
3 $$=\left.\frac{d\vec{OO'} }{dt}\right]_{R_1}+\vec {V_2}+\vec\omega\wedge\vec{O'M}$$
$$\vec V_1={{\vec V_{O'} + \vec {V_2}+\vec\omega\wedge\vec{O'M} }}$$
Vitesse d'entrainement
Loi de composition des accélérations
Démonstration de l'accélération "absolue" ou accélération référencé au réferentiel fixe
:
1 Soit deux référentiels \(\mathcal{R_1}(O,x,y,z)\) et \(\mathcal{R_2}(O',x',y',z')\)
2 L'accélération référencé à \(\mathcal {R_1}\):
$$\vec a_{1}=\left.\frac{d^2\vec{OM} }{dt^2}\right]_{\mathcal R_1}$$
3 En fonction de l'accélération relative:
$$\vec a_r=\left.\frac{d^2\vec{O'M} }{dt^2}\right]_{\mathcal R_2}$$
4 On sait que:
$$\vec V_1=\vec V_r +\vec V_e=\vec V_r+\vec V_{O'}+\vec\Omega\wedge\vec{O'M}$$
5 Il vient:
5i$$\vec{a_1}=\left.\frac{d\vec V_r}{dt}\right]_{\mathcal R}= \left.\frac{d\vec V_r}{dt}\right]_{\mathcal R}+\left.\frac{d\vec{V_{O'} } }{dt}\right]_{R}+\frac{d}{dt}(\vec \Omega\wedge\vec{O'M})$$
5ii $$\vec a_1=\left.\frac{d\vec V_r}{dt}\right]_{R'}+\vec\Omega\wedge\vec{V_r}+\vec a_{O'}+\frac{d\vec\Omega}{dt}\wedge\vec{O'M}+\vec\Omega\wedge\left(\left.\frac{d\vec{O'M} }{dt}\right]_{R'}+\vec\Omega\wedge\vec{O'M}\right)$$
6 Enfin:
$$\vec a_1=\vec a_r+\vec a_{O'}+\frac{d\vec\Omega}{dt}\wedge\vec{O'M}+\vec\Omega\wedge\left(\vec\Omega\wedge\vec{O'M}\right)+2\vec\Omega\wedge\vec V_r$$
7 On trouve, par intrepetation:
- \(\vec a_r\): accélération relative
- \(\vec a_C=2\vec\Omega\wedge\vec V_r\): accélération complémentaire ou Accélération de Coriolis
- \(\vec a_e\): accélération au point coincidant / d'entrainement , i.e. \(\vec V_r=\vec 0\) et \(\vec a_r=0\)
\(\implies\vec a_{O'}+\frac{d\Omega}{dt}\wedge \vec{O'M}+\vec\Omega\wedge\left(\vec\Omega\wedge\vec{O'M}\right)\)
Accélération d'entrainement
8 On a donc $$\vec a_1=\vec a_r+\vec a_e+\vec a_C$$
L'accélération référencé au référentiel fixe
$$\vec a_1={{\vec a_r+\vec a_e+\vec a_C}}$$
Avec:- \(a_r\): accélération relative
- \(a_e\): Accélération d'entrainement
- \(a_C\): Accélération de Coriolis